[ Pobierz całość w formacie PDF ]
wiersze dowodu, a odniesienia do formuł czyni się za po-
mocą tych numerów. Ostatni wiersz nie jest numerowany,
116 V. Logika predykatów jako narzędzie wnioskowania dedukcyjnego
bo nie ma potrzeby powoływania się nań, co zarazem wska-
zuje, iż występującą w nim formułę traktujemy jako wnio-
sek całego dowodu.
Opisane postępowanie nazywa się dowodzeniem wprost
w odróżnieniu od dowodzenia nie wprost, które omówimy
przy sposobności odpowiedniego przykładu, a porównanie
obu sposobów wyjaśni sens nadanych im nazw.
W powyższym dowodzie, jak i w następnych, ilu-
strujących metody dowodzenia posługujemy się, dla
uproszczenia wizualnego, predykatami jednoargumento-
wymi reprezentowanymi przez litery P , Q etc., a nie
fomułami o nieokreślonej strukturze, reprezentowanymi
przez litery greckie. Znaczy to, że zamiast dowodzić da-
nego prawa w całej ogólności, dowodzimy tylko jednego z
jego konkretnych przypadków, czyli podstawień, mianowi-
cie takiego, w którym występują konkretne predykaty jed-
noargumentowe. Dzięki zdolności naszego umysłu do wi-
dzenia tego, co ogólne w tym, co konkretne, na co możemy
liczyć w tym przypadku, nie tracimy na tej konkretyzacji
poznawczo, a zyskujemy większą czytelność zapisu.
Kolejnym przykładem niech będzie prawo rozdziela-
nia kwantyfikatora ogólnego między człony implikacji, z
zamianą na kwantyfikator egzystencjalny. Założenia są za-
znaczone skrótem zał.
P.2 "x(P x Ò! Qx) Ò! ("xP x Ò! "xQx)
1 "x(P x Ò! Qx) zaÅ‚.
2 "xP x zał.
3 P a [-"]: 2
4 P a Ò! Qa [-"]: 1
5 Qa [Odr]: 4, 3
"xQx [+"]: 5
4. System założeniowy SB 117
W ten sposób z tego, że każdy filozof jest omylny wy-
nika logicznie, że jeśli istnieją filozofowie, to istnieją istoty
omylne. Zauważmy, że zdanie każdy filozof jest omylny
jest zwięzłą parafrazą (tj. mówi to samo innymi słowami)
zdania o każdym człowieku jest prawdą, że jeśli jest on
filozofem to jest omylny . W tej drugiej wersji symbo-
lowi x pod kwantyfikatorem odpowiada słowo człowiek ,
przy założeniu, że nasze zmienne indywiduowe odnoszą się
do elementów zbioru ludzi, zaś wystąpieniom zmiennej x
w zasięgu kwantyfikatora odpowiadają wystąpienia zaimka
on .
Zasługuje w tym dowodzie na zauważenie kolejność
formuł przy opuszczaniu kwantyfikatora. Najpierw sto-
sujemy opuszczenie do formuły zawierającej kwantyfika-
tor ogólny, a potem do formuły zawierającej kwantyfika-
tor egzystencjalny, choć jako założenia występowały one
w kolejności odwrotnej (której nie warto by zmieniać bez
powodu). Powodem jest to, że obowiązuje nas warunek
towarzyszący regule [-"], mianowicie by nie zastępować
zmiennej stałą, która choć raz była już użyta w danym
dowodzie. Natomiast reguła opuszczania kwantyfikatora
ogólnego nie jest związana takim zastrzeżeniem, bo skoro
wszystkie przedmioty (z rozważanej dziedziny) spełniają
daną formułę (tzn. dla wszystkich jest ona prawdziwa), to
możemy wykorzystać także ten obiekt, którego nazwę pod-
stawiliśmy za zmienną przy opuszczaniu wcześniej kwan-
tyfikatora egzystencjalnego.
Rozważmy obecnie prawo rozdzielania kwantyfikatora
ogólnego między człony implikacji, tym się różniące od
poprzedniego, że przy rozdzielaniu zachowujemy kwanty-
fikator ogólny. Tym razem, z poglądu, że każdy filozof
jest omylny możemy dedukować, że jeśli wszyscy są fi-
lozofami, to wszyscy są omylni. Warto zauważyć, że ta
konsekwencja zostanie lepiej sformułowana w języku na-
turalnym, jeśli użyjemy trybu warunkowego nierzeczywi-
118 V. Logika predykatów jako narzędzie wnioskowania dedukcyjnego
stego, wyrażanego przez gdyby , jest on bowiem na miej-
scu wtedy, gdy jest wiadome, iż poprzednik jest fałszywy
(na pewno nie wszyscy są filozofami). Należy więc raczej
wyrazić wniosek zdaniem: gdyby wszyscy byli filozofami,
to wszyscy byliby omylni . Oto dowód.
P.3 "x(P x Ò! Qx) Ò! ("xP x Ò! "xQx)
1 "x(P x Ò! Qx) zaÅ‚.
2 "xP x zał.
3 P x Ò! Qx [-"]: 1
4 P x [-"]: 2
5 Qx [Odr]: 3, 4
"cQx [+"]: 5
W odróżnieniu od poprzedniego dowodu, po opuszcze-
niu kwantyfikatora pozostajÄ… w formule te same symbole
zmienne, podczas gdy w poprzednim były podstawiane w
ich miejsce stałe indywiduowe. Bierze się to stąd, że dowód
ma się zakończyć dołączeniem kwantyfikatora ogólnego, a
ten może być dołączony tylko do formuły ze zmiennymi
(które po dołączeniu będzie wiązał).
Takie pozostawienie zmiennych jest prawidłowe pod wa-
runkiem, że zmienna podlegająca związaniu we wniosku
nie była wolna w założeniach dowodu. W naszym dowo-
dzie warunek ten jest spełniony. A uzasadnia się on tym,
że obecność zmiennych wolnych w założeniach dowodu
może dopuszczać podstawienia, przy których założenie sta-
nie się prawdą dla pewnych przedmiotów, nie będąc jednak
prawdziwe dla wszystkich przedmiotów z rozważanej dzie-
dziny (co jest warunkiem poprawnego uogólnienia). Intu-
icyjną trafność owego warunku można zobaczyć próbując
dowieść np. wyrażenia "x(P x Ò! Qx) Ò! (P y Ò! Qy) ,
gdzie w następniku występuje dwa razy zmienna wolna.
Założeniem w tej próbie dowodu byłby poprzednik całej
4. System założeniowy SB 119
implikacji oraz poprzednik tej implikacji, która stanowi
następnik; to drugie naruszałoby warunek nie posiada-
nia zmiennych wolnych. Niech P znaczy jest szew-
cem , a Q znaczy jest żołnierzem . Przy tej inter-
pretacji następnik jest spełniany tylko przez niektóre ele-
[ Pobierz całość w formacie PDF ]